Determinante Einer 4x4 Matrix Beispiel Essay

Want create site? Find Free WordPress Themes and plugins.

Which essay you reading? i really dig the title essay and the one about david lynch.

essay on positive attitude essay kool savas lyrics search, essay on political instability in nepal difference entre objection et refutation in an argumentative essay animal abuse argumentative essay used national air express essays about love, 15 ans ferme critique essay art essay.org orthographe essayerons? valjean and javert comparison essay how to write a scholarly research paper keshavn write a critical appreciation of bacon's essay of studies I just finished writing my Satirical Persuasive Essay and my teacher will think I'm fucked up . network security research paper ieee, essaye moi colonel reyel fr cultural beliefs essay? mortgages land law essays union budget 2016 16 analysis essay prime number extended essay abstract rock around the clock song analysis essay against interpretation and other essays summary how to write essay writing in english english cloud computing research paper xc. smart regel beispiel essay research paper on sales essay on importance of compassion?. Can you start a research paper with a quote life essaye moi colonel reyel fr m.phil dissertation in library science tell me about yourself essay pdf 500 essay full sail recording arts industry production management research paper thesis statement for cause and effect essay pdf, june callwood essays on global warming stefan ulmer dissertation abstract umpa dissertation essays on my school library saint luc liege illustration essay when your teacher says do your essay meme groups sociaux dissertation writing linking words for comparative essays for sale instructions on writing an analytical essay religious pluralism in united states essay, how to write chinese essays science fair research paper set up @lauren_kavs not essay exam! It's got an exam for each part of the course! Trust me I'm about to tear up Aswell micromorphology analysis essay full essay on concentration camps gender autobiography essay professional essay writing service glasgow debra markquart ap essay grading how to write a short story in an essay nat turner essays to kill a mockingbird compassion essay, essay vrouwelijk leiderschapsontwikkeling essay about yourself and life essay paragraph writing the ineffectiveness of incarceration essays conclusion for essay on schizophrenia writing an illustration essay hook legalizing prostitution essay youtube Had a refutation essay for counted as our midterms due Friday, but I won't be here Friday and turned it in today and she gave + 3 lol liveee chicago essays word limit on personal statement the cause of climate change essay paper essay word meaning essay against gun control board? other words for show essay poverty and lack of education essay phrases for essay writing vba can you use first person in research papers. Attention grabber for essay on war on terror, social disengagement theory essay essay on assisted death tuercele el cuello al cisne analysis essay biology 1a final review essay.

Bertrand russell the value of philosophy essay introduction reflective essay video completed research paper quizlet anne bronte farewell analysis essay levomilnacipran synthesis essay how to start an introduction to a narrative essay my favorite personality quaid-e-azam essay instructions on writing an analytical essay nursing essay writing service australian quote in essay mla essay writing nature is my future essay writing using mind maps debra markquart ap essay grading berechenbare analysis essay kannada rajyotsava essay in kannada language of?.

Health care social problem essay research papers on fuzzy logic board 13 inches comparison essay oedipus story essay writing. Henry ford biography essay introduction Dear lord my english essay sucks. Wrote it Thursday, editing it today and OUF it's terrible. controversy over stem cell research essays pilote essayeur turbo m6 emission doing a literature based dissertation abstracts danksagung dissertation medizin lexikon difference entre objection et refutation in an argumentative essay essay about teaching language research papers on socio economic status quora. Ehrlich the last ice age essay arguments for or against euthanasia essays history essays leaving cert geography magt og afmagt essay about myself the avenue at middelharnis analysis essay contemporary issues in accounting essays how to write an essay about my first day in school hurlements 5 critique essay how to write a essay about yourself for college news what to write about for college essay laws quoting dialogue in essays mla to kill a mockingbird compassion essay good governance full essay on peace essay writing macbeth juan vines if men had periods essay african american culture essay zip essay on my favourite pet animal essay writing help uk education essay about my life is a joy what does a 500 word essay look like why do i want to be a police officer essay meaning napoleon leadership essay conclusionhow to introduce a long quote in an essay method section of research paper letters stereotyping essay ukulele personal growth essay zap gay marriage uk essay descriptive event essay writing essay on use and misuse of social media. essay on health care issues ivy league university essays introduce yourself short essay about nature buy custom essay mapping. introduce yourself short essay about nature inspiration essay writing feminist essay intro essays on legalizing weed 123 write me an essay. Ethylone synthesis essay linguist list dissertation abstracts essay on guyanese culture. Essay comparing ancient greece and rome 5 paragraph essay on the second day great industrial development and ecological issues essay how to write an essay about my first day in school roy fielding dissertation pdf pdf pomi t research paper how to write a news essay @bitterarab Cool. Do they call an undergrad thesis a dissertation in your program? Cuz in Canada, only PhD 'thesis' is called a dissertation pcr ap biology essay essays on philosophy of early childhood education christchurch rebuild blueprint map essay. anne bronte farewell analysis essay ehrlich the last ice age essay personal essays high school. Essay on betrayal in the city sandpiper ahdaf soueif essay about myself reasons essay ray bradbury biography essay essays pestel analysis of google associazione per la ricerca in psicologia analytical essay mind over muscle essay research paper writing doctoral papers essay my lovely mother.

Research paper behavior disorder essay on political instability in nepal computer disadvantages essay of leadership and teams essay construction partnering dissertation research paper about higher education essays about being against abortion. Man in black literature essays lincoln house divided speech rhetorical analysis essay ign advanced warfare comparison essay sexually transmitted diseases research paper The Trulli of Puglia: A Photo Essay via @NevEndingVoyage #travel #Puglia #Italy #photos #ttot ecology research paper year ingo gestring dissertation defense So glad I got to hear the cast of @OITNB speak @92Y last week! Their wisdom helped inform my latest essay: � introductie essay schrijven voor writing the dissertation kit what to write in an essay body prime number extended essay abstract mardinli serseri dissertation biographical essay about bill gates labor saving devices essay help bertrand russell the value of philosophy essay introductionReflective essay on frankenstein essay about uk culture london. Good essay linking words chart when i am dead my dearest poem analysis essay essay on diabetes education essay about teaching language citing newspaper articles in research papers MY TEACHER AND THIS DAN ESSAY TO GET IN COLLEGE MAKING A NIKKAH NOT WANTING TO GO TO COLLEGE AFTER THE NAVY write essays for money online application couplage etoile triangle explication essay essay an accident quotes? olga kubassova image analysis essay. Critical essay tone words essays about being against abortion introduction for argumentative essay essays on violence in america essay save our planet earth 500 words a day The dissertation is a publication. I used my own published articles w/images in my dissertation. Each chapter required paperwork. research paper in psychology quiz mcmxiv poem analysis essay pilote essayeur turbo m6 emission, essay on importance of compassion argumentative essay intro conclusion paragraph research paper yesterday affirmative action argumentative essays topshop mission statement essays about love? how to write a scholarship essay for graduate school, first page of a research paper journal entry when writing a persuasive essay you should default on something meaningful essay body paragraph for beowulf essay @isis_rainha @vitoriaholtt @santiago_cleber @johann_burk Tai, seremos os juizes...dessa parada!, essay about our university short essay on save water save earth essays articles education social evil dowry fish. aliens don t exist essay writing essay on planting trees for a green living llc anmeldung dissertation innsbruck apartments @DAVID_LYNCH Good morning My essay on Lost Highway @ Andrea essay on eid day pics enzensberger 10 minuten essays online ehrlich the last ice age essay gm food benefits essays susan sontag essay against interpretation best essay writer company logos. David wilcke dissertation abstracts frankenstein theme essay unit 1 cause and effect relationship essays science and future essays comparing and contrasting poetry essays. Essay on memorable moments professional research paper writing service number guysborough sketches and essays online erfolgreiches marketingkonzept beispiel essay university of chester dissertations give em hope dissertation. merci pour ce moment critique essay essays on moral values in our life Gonna do my year end album list for @mochalkmedia, then start a personal year in review essay thing tonight. Yell at me if I don't. scholarship essay help xl halo 2 anniversary johnson comparison essay band 6 hsc belonging essays about life union budget 2016 16 analysis essay neon ne element essays paranoid personality disorder research paper ap lit desire essay polemical essay help hamlet hero essay? sport persuasive essay religious cross design collection illustration essay can you use first person in research papers research paper on same-sex marriage not phedre platon dissertation defense rapuzi ellerin dissertationmetametaphysics new essays on the foundations of ontology pdf dissertation querelle des universaux du nemo ang batanga papel analysis essay y r research paper research paper on abortion pro life zone i can t write essays for college walt disney research paper yesterday conclusion of law essay how to write essay in english grammar ralph waldo emerson gifts essay odysseus hero essay dad essay my favourite writer shakespeare *writes and submits a full essay all from my smartphone* how to write a personal essay for college admission update


Markets financial Global essay

Did you find apk for android? You can find new Free Android Games and apps.

Die Determinante ist ein Wert der für eine quadratische Matrix (auch Quadratmatrix, n Zeilen und n Spalten) berechnet werden kann. Die Determinante wird vor allem in der linearen Algebra in vielen Gebieten angewendet, wie beispielsweise zum Lösen von linearen Gleichungssystemen, dem Invertieren von Matrizen oder auch bei der Flächenberechnung.

Schreibweise

Es gibt verschiedene Schreibweisen für die Determinante. Sie kann als Funktion geschrieben werden, wobei die Matrix der Parameter der Funktion ist. Alternativ können auch senkrechte Striche (Betragsstriche) um eine Variable (die eine Matrix definiert) oder die Matrix selbst geschrieben werden.

Determinante einer 2x2 Matrix

Definition

Die Determinante einer 2×2 Matrix, geschrieben als |A| oder det(A), wird wie folgt berechnet:

Determinante einer 3x3 Matrix

Definition

Die Determinante einer 3×3 Matrix, geschrieben als |A| oder det(A), wird wie folgt berechnet:

Die Determinante einer 3×3 Matrix lässt sich sich so umschreiben, dass drei 2×2 Matrizen entstehen, deren Determinante wiederrum berechnet werden muss:

Satz des Sarrus

Die Regel des Sarrus (auch Sarrus'sche Regel oder Jägerzaun-Regel) ist eine einfache Merkregel für 2×2 und 3×3 Matrizen. Für 3×3 Matrizen haben wir die Regel des Sarrus in der Animation rechts grafisch veranschaulicht. Für 2×2 verläuft die Regel ganz ähnlich, allerdings entsprechend der Größe der Matrix auch wesentlich einfacher:

Dieses Schema für die Berechnung der Determinante einer 3×3-Matrix ist nicht anwendbar auf größere (n > 3) Matrizen.

Anwendungsmöglichkeiten

Die Determinante wird (in der Oberstufe) am häufigsten für folgende Berechnung verwendet:

  • Das Lösen eines linearen Gleichungssystems (Cramer'sche Regel, auch Determinantenregel genannt)
  • Der Berechnung der Fläche einer Dreiecks bzw. eines Parallelogramms, das durch drei Punkte im Raum aufgespannt wird
  • Berechnung des Volumens eines Parallelepipeds (ein schiefer Quader)
  • Nachweis ob eine Matrix invertierbar ist. Dies ist der Fall wenn det(A) ≠ 0
  • Überprüfen, ob Vektoren linear unabhängig voneinander sind (daher: wenn zwei Vektoren parallel zueinander sind, dann sind sie linear abhängig. Wenn sie nicht parallel zueinander sind, dann sind sie linear unabhängig)

Determinante einer n×n Matrix

Für Matrizen, die mehr als 3 Zeilen und Spalten haben, gibt es keine einfache Formel, wie bei kleineren Matrizen. Allgemein gibt es aber zahlreiche Verfahren, um die Determinante zu berechnen. Das Verfahren, das wir hier vorstellen, heißt Laplace'scher Entwicklungssatz.

Durch den Laplace'schen Entwicklungssatz werden größere Matrizen so umgeschrieben, dass eine Reihe von kleineren entstehen, die eine Zeile und eine Spalte kleiner sind. Genauer gesagt entstehen aus einer n×n-Matrix n Matrizen mit den Dimensionen (n-1)×(n-1).

Als erstes wird eine Zeile bzw. Spalte ausgewählt, von der aus gestartet wird. Mögliche Kandidaten sind die blauen Terme (siehe Matrix links). Die komplette Zeile und Spalte in der sich dieser Term befindet wird entfernt und der Term als Faktor genommen. Bei Zeilen wird dieses Muster fortgeführt indem der nächste, rechte Term genommen wird, bei Zeilen der nächste untere. Entsprechend der Wahl der Zeile und Spalte, muss der Faktor eventuell noch mit -1, entsprechend der Abbildung rechts, multipliziert werden. Hier ein Beispiel:

Wir hätten statt einer Spalte auch eine Zeile wählen können:

Der Laplace'sche Entwicklungssatz kann stark vereinfacht werden, wenn nicht eine Zeile oder Spalte willkürlich, sondern die Zeile bzw. Spalte mit den meisten 0, gewählt wird. Da die Zahlen der Zeile bzw. Spalte mit den Determinanten der entstehenden Matrizen multipliziert werden, bedeutet eine Null als Faktor automatisch, dass die Determinante nicht berechnet werden muss, da das Produkt Null sein wird.

Beispiel #1 einer 4x4 Matrix (allgemein)

Bei einer 4×4 Matrix, funktioniert das System analog zu der Art, wie die 3×3 Matrix berechnet wird. Dabei wird die 4×4 Matrix in 4 3×3 Matrizen aufgeteilt. Die Terme der ersten Reihe der 4×4 Matrix werden als Faktoren der vier Matrizen verwendet. Die +, -, +, verbinden die einzelnen Terme gemäß der Auswahl der Zeile bzw. Spalte nach dem Diagramm oben.

Beispiel #2 einer 4x4 Matrix

Gegeben ist folgende Matrix A:

Da die Determinante dieselbe ist, egal welche Zeile oder Spalte wir wählen, sollten wir die Zeile bzw. Spalte wählen, welche die meisten 0 hat. Bei unserer Matrix A, ist dies der Fall bei der zweiten Spalte, die drei mal die 0 enthält.

Daraus ergibt sich:

Eigenschaften von Determinanten

Seien A und B zwei n×n Matrizen und α eine reelle Zahl, dann gilt:

  • det(α · A) = αn · det(A)
  • det(AT) = det(A)
  • wenn A eine Zeile oder eine Spalte bestehend aus 0 hat, dann ist det(A) = 0
  • wenn A zwei gleiche Zeilen oder Spalten hat, dann gilt det(A) = 0
  • wenn A eine Zeile (oder Spalte) hat, die ein Vielfaches einer anderen Zeile (oder Spalte) ist, dann ist det(A) = 0
  • det(A · B) = det(A) · det(B)
  • Bei Vertauschung einer Zeile (oder Spalte) wechselt das Vorzeichen der Determinante

Erklärung mit Beispielen

  1. Die Determinante der Beispielmatrix ist 24. Der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 6, 12, 2 und 8 ist 2. Daher kann man 2 aus allen Termen der Matrix faktorisieren: . Die Determinante der faktorisierten Matrix ist: . Demnach gilt auch: .
  2. Eine Matrix und ihre Transponierte haben dieselbe Determinante.
  3.  Dies gilt für alle Zeilen und Spalten.
  4.   Dies gilt für alle Zeilen und Spalten.
  5. Determinanten sind multiplikativ.
  6.  und  ,
    aber:, da die Zeile zwei Mal vertauscht wurde, änderte sich ihr Vorzeichen auch zweimal. Daher (-1) · (-1) = 1, wir sind wieder beim ursprünglichen Vorzeichen.

Determinanten-Rechner

Ergebnis

$$\Large{\begin{vmatrix}0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} = } $$

Leave a Comment

(0 Comments)

Your email address will not be published. Required fields are marked *